函数f(x)=a^x(a^x-3a3-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围

令t=a^x，

如果 a>1 ，那么a^x单调递增，并且a^x大于等于1
g(t)=t*(t-3a-1)=t^2-(3a+1)*t
要使原函数在[0,+∞)上是增函数，g(t)必需在[1,+∞)上是增函数
所以（3a+1）/2应当小于等于1，可以解得a小于等于1/3,
又因为a>1，所以舍去；

如果 0<a<1 ，那么a^x单调递增，并且0< a^x 小于等于1
g(t)=t*(t-3a-1)=t^2-(3a+1)*t
要使原函数在[0,+∞)上是增函数，g(t)必需在（0，1]上是减函数
所以（3a+1）/2应当大于等于1，可以解得a大于等于1/3,
又因为0<a<1，所以a属于[1/3,1)

f(x)=(a^x)(a^x-3a-1)

令t=a^x，
g(t)=t*(t-3a-1)=t²-(3a+1)*t
对称轴：t＝(3a+1)

如果 a＞1 ，那么a^x单调递增
要使原函数在[0,+∞)上是增函数，g(t)必需至少在[0,+∞)上是增函数
所以（3a+1)≤0，
解得a≤-1/3（舍去）

如果 0＜a＜1 ，那么a^x单调递减，
要使原函数在[0,+∞)上是增函数，g(t)必需在[0,+∞)上是减函数
那是不可能的，因为g(t)开口向上，在【某点，+∞）是增函数

所以a无解